机器学习中的度量——其他度量

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      机器学习是时下流行AI技术中另一俩个 很糙要的方向,无论是有监督学习还是无监督学习都使用各种“度量”来得到不同样本数据的差异度已经 不同样本数据的同类度。良好的“度量”可不需用显著提高算法的分类或预测的准确率,本文中将介绍机器学习中各种“度量”,“度量”主要由一种,分别为距离、同类度和相关系数,距离的研究主体一般是线性空间中点;而同类度研究主体是线性空间中向量;相关系数研究主体主可是我 分布数据。本文主要介绍一些度量。

      KL散度(Kullback–Leibler divergence)又称为相对熵(relative entropy)。KL散度是另一俩个 概率分布P和Q差别的非对称性的度量。 KL散度是用来 度量使用基于Q的编码来编码来自P的样本平均所需的额外的位元数。 典型请况下,P表示数据的真实分布,Q表示数据的理论分布,模型分布,或P的近似分布。

      对于离散随机变量,其概率分布P 和 Q的KL散度可按下式定义为

\[{D_{KL}}\left( {P\left\| Q \right.} \right){\rm{ = }} - \sum\limits_i {P\left( i \right)\ln \frac{{Q\left( i \right)}}{{P\left( i \right)}}}\]

      等价于

\[{D_{KL}}\left( {P\left\| Q \right.} \right){\rm{ = }} - \sum\limits_i {P\left( i \right)\ln \frac{{P\left( i \right)}}{{Q\left( i \right)}}}\]

      即按概率P求得的P和Q的对数商的平均值。KL散度仅当概率P和Q人及总和均为1,且对于任何i皆满Q(i)>0及P(i)>0时,才有定义。式中再次出先0ln 0的请况,其值按0外理。

      对于连续随机变量,其概率分布P和Q可按积分最好的办法定义为

\[{D_{KL}}\left( {P\left\| Q \right.} \right){\rm{ = }}\int_{ - \infty }^\infty {p\left( x \right)\ln \frac{{p\left( x \right)}}{{q\left( x \right)}}dx} \]

      其中p和q分别表示分布P和Q的密度。

      更一般的,若P和Q为集合X的概率测度,且P关于Q绝对连续,则从P到Q的KL散度定义为

\[{D_{KL}}\left( {P\left\| Q \right.} \right){\rm{ = }}\int_X {\ln \frac{{dP}}{{dQ}}dP} \]

      其中,假定右侧的表达形式发生,则dP/dP为Q关于P的R–N导数。

      相应的,若P关于Q绝对连续,则

\[{D_{KL}}\left( {P\left\| Q \right.} \right){\rm{ = }}\int_X {\ln \frac{{dP}}{{dQ}}dP} {\rm{ = }}\int_X {\ln \frac{{dP}}{{dQ}}\ln \frac{{dP}}{{dQ}}dQ} \]

      即为P关于Q的相对熵。

      在这里举另一俩个 实际例子来说明KL散度怎样计算的,假设P和Q是另一俩个 不同的分布。P是另一俩个 实验次数N=2且概率p为0.5 的二项分布。Q是另一俩个 各种取0,1或2的概率都为1/3的离散均匀分布。

P(x) 0.25 0.5 0.25
Q(x) 0.333 0.333 0.333

      全都P关于Q的KL散度为

\[\begin{array}{l} {D_{KL}}\left( {P\left\| Q \right.} \right){\rm{ = }} - \sum\limits_i {P\left( i \right)\ln \frac{{P\left( i \right)}}{{Q\left( i \right)}}} \\ \quad \quad \quad \quad \; = 0.25\ln \frac{{0.25}}{{0.333}} + 0.5\ln \frac{{0.5}}{{0.333}} + 0.25\ln \frac{{0.25}}{{0.333}} \\ \quad \quad \quad \quad \; = 0.59892 \\ \end{array}\]

      同理可得Q关于P的KL散度

\[\begin{array}{l} {D_{KL}}\left( {Q\left\| P \right.} \right){\rm{ = }} - \sum\limits_i {Q\left( i \right)\ln \frac{{Q\left( i \right)}}{{P\left( i \right)}}} \\ \quad \quad \quad \quad \; = 0.333\ln \frac{{0.333}}{{0.25}} + 0.333\ln \frac{{0.333}}{{0.5}} + 0.333\ln \frac{{0.333}}{{0.25}} \\ \quad \quad \quad \quad \; = 0.0555 \\ \end{array}\]

      在NLP领域中,Word2Vec得到的词向量可不需用反映词与词之间的语义差别,但在实际任务中亲戚亲戚当当我们时不时遇到计算文档和文档之间同类度的疑问图片,除了采用词向量叠加生成文章向量的方案,亲戚亲戚当当我们还有另一俩个 叫做词移距离(Word Mover's Distance)的方案来计算文档和文档之间的同类度。其中文档和文档之间距离定义为:

\[\sum\limits_{i,j = 1}^n {{T_{ij}}c\left( {i,j} \right)} \]

      其中c(i,j)为i ,j另一俩个 词所对应的词向量的欧氏距离, Tij为词语xi转移到词语xj的权值。另另一俩个 们怎样得到这一 权值矩阵T呢?又已经 说这一 加权矩阵T代表那先 含义呢?这一 加权矩阵T一些同类于HMM中的请况转移矩阵,只不过其中的概率转换为权重了而已:



      这里有另一俩个 文档1和文档2,去除停用词后,每篇文档仅剩下另一俩个 词。文档1文档的词语集合为{Obama, speaks, media, Illinois},文档2的词语集合为{President greets press Chicago}。亲戚亲戚当当我们可是我 要用这一俩个词来比较另一俩个 文档之间的同类度。在这里,亲戚亲戚当当我们假设’Obama’这一 词在文档1中的的权重为0.5(可不需用简单地用词频已经 TFIDF进行计算),没有已经 ’Obama’和’president’的同类度很高,没有亲戚亲戚当当我们可不需用给由’Obama’移动到’president’很高的权重,这里假设为0.4,文档2中一些的词已经 和’Obama’的距离比较远,全都会分到更小的权重。这里的约束是,由文档1中的某个词i移动到文档2中的各个词的权重之和应该与文档1中的这一 词i的权重相等,即’Obama’要把此人 的权重0.5分给文档2中的各个词。同样,文档2中的某个词j所接受到由文档1中的各个词所流入的权重之和应该等于词j在文档2中的权重。为社 会 会 要有另另一俩个 的操作呢?已经 词移距离代表的是文档1要转换为文档2所需用付出的总代价。将这一 代价求得下界即最小化前一天,即可求得所有文档a中单词转移到文档b中单词的最短总距离,代表另一俩个 文档之间的同类度。当然实际计算中权值矩阵T也就有随便而来的,词移距离对应另一俩个 优化我呢提,它是另另一俩个 计算的:



      其中c(i,j)词向量i和j的 Euclidean 距离,n是词的个数,d和d’分别是另一俩个 文档中各个词权重(概率或TF-IDF)组成的向量。